Hallo,
sehr schöne Funktion. 
Ich würde als erstes mal Substituieren:
Zitat: Subst:
u = 2x => f(u)=sin(2u)cot(u)-4cos(u)-2 = 0
sin(2u) kann ich mit Hilfe der Additionstheoreme in 2sin(u)cos(u) überführen.
Danach stört mich noch der cotangens, daher esetze ich diesen mit cos(u) / sin(u).
Zitat: f(u)=2sin(u)cos(u) x cos(u) / sin(u) - 4cos(u) - 2 = 0
Der rote Sinus kürzt sich weg. Dann teile ich durch 2:
Zitat: f(u)=cos^2(u)-2cos(u)-1=0
Der Verständlichkeitshalber substituiere ich nochmal:
Zitat: Subst:
cos(u) = z => f(z) = z^2 - 2z-1
pq-Formel:
z1,2 = 1 +- sqrt(2)
=> cos(u)1,2=1+-sqrt(2)
Der Cosinus hat eine Amplitude von 1, daher scheidet 1+sqrt(2) als Lösung aus. Durch die Umkehrfunktion des cos, dem arccos erhält man nun u. Der cosinus ist allerdings 2PI periodisch, daher gibt es unendlich viele Nullstellen:
Zitat: cos(u)=1-sqrt(2) => arccos(1-sqrt(2))+2kPI=u , k E Z
Aus Symetrie Gründen ist auch
Zitat: -arccos(1-sqrt(2))+2kPI
Eine Lösung.
Rücksubstituieren:
Zitat: u=2x
u=arccos(1-sqrt(2)) => 2x=arccos(1-sqrt(2)) + 2kPI => x1=arccos(1-sqrt(2)) / 2 + kPI ~ 0,99894 + kPI
x2=-arccos(1-sqrt(2)) / 2 + kPI ~ -0,99894 + kPI
k E Z
Zuletzt bearbeitet von o-4-n am 10.11.2011, 20:47, insgesamt 2-mal bearbeitet
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